Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n以及前n和S_n；
（2）令b_n=2log₂a_n+1．求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求前n和S_n；
（2）利用裂項(xiàng)法，求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ，
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2；
（2）b_n=2log₂a_n+1=2n+1，
∴

1

bn•bn+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

6n+9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．