Question

4．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足sina₄cosa₇-cosa₄sina₇=1，公差d∈（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，求該數(shù)列首項(xiàng)a₁的取值范圍（　　）

• A． $（\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}）$
• B． $[{\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}}]$
• C． $（\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}）$
• D． $[{\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}}]$

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出sin（a₄-a₇）=1，d=-$\frac{π}{6}$，由當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，推導(dǎo)出8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\fracr52cmto{2}}{2×\frac60p2kv0{2}}$＜9.5．由此能求出該數(shù)列首項(xiàng)a₁的取值范圍．

解答 解：∵sina₄cosa₇-cosa₄sina₇=1，
∴sin（a₄-a₇）=1，
∵a₄-a₇=-3d∈（0，3），a₄-a₇=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴-3d=$\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{6}$．
∵S_n=$\frac00nzsah{2}{n}^{2}$+（a₁-$\fractpyk6uj{2}$）n，
當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，
∴8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\fracczy1ha5{2}}{2×\fracc57yoci{2}}$＜9.5，化為$\frac{4π}{3}$＜a₁＜$\frac{3π}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題綜合考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．