Question

10．過拋物線y²=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且|AF|=2|BF|，則直線AB的斜率為（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}或-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 當點A在第一象限，通過拋物線定義及|AF|=2|BF|可知B為CE中點，通過勾股定理可知|AC=2$\sqrt{2}$|BC|，進而計算可得結論．

解答 解：如圖，點A在第一象限．
過A、B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為D、E，
過A作EB的垂線，垂足為C，則四邊形ADEC為矩形．
由拋物線定義可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，
又∵|AF|=2|BF|，
∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B為CE中點，
∴|AB|=3|BC|，
在Rt△ABC中，|AC|=2$\sqrt{2}$|BC|，
∴直線l的斜率為$\frac{AC}{BC}$=2$\sqrt{2}$；
當點B在第一象限時，同理可知直線l的斜率為-2$\sqrt{2}$，
∴直線l的斜率為±2$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．