Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁=6，S₂=4，S_n＞0，且S_2n，S _2n-1．S _2n+2成等比數(shù)列，S_2n-1．S_2n+2，S_2n+1成等差數(shù)列，則a₂₀₁₆等于-1009．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是等差數(shù)列，且S₃=12，S₄=9，從而數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a₂₀₁₆的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁=6，S₂=4，S_n＞0，且S_2n，S _2n-1．S _2n+2成等比數(shù)列，S_2n-1．S_2n+2，S_2n+1成等差數(shù)列，
∴依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{{S}_{2n-1}}^{2}={S}_{2n}{S}_{2n+2}}\\{2{S}_{2n+2}={S}_{2n-1}+{S}_{2n+1}}\end{array}\right.$，
∵S_n＞0，∴$2{S}_{2n+2}=\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$+$\sqrt{{S}_{2n+2}{S}_{2n+4}}$，
即$2\sqrt{{S_{2n+2}}}=\sqrt{{S_{2n}}}+\sqrt{{S_{2n+4}}}（n∈{{N}^*}）$，
故數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是等差數(shù)列，
又由S₁=6，S₂=4，得S₃=12，S₄=9，∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
∴$\sqrt{{S_{2n}}}=n+1$，即${S}_{2n}=（n+1）^{2}$，
故${S}_{2n-1}=\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$=（n+1）（n+2），故${S}_{2016}=100{9}^{2}$，
S₂₀₁₅=1009×1010，
故a₂₀₁₆=S₂₀₁₆-S₂₀₁₅=-1009．
故答案為：-1009．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的第2006項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．