Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線l：y=$\frac{1}{2}$x交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E恰好在橢圓上，且|AE|+|BF|=6，則橢圓的短軸長(zhǎng)為4．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），左焦點(diǎn)為F'，運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可得a=3，設(shè)E（m，n），由對(duì)稱可得$\frac{n-0}{m-c}$=-2，$\frac{1}{2}$n=$\frac{m+c}{4}$，求出E的坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（c，0），左焦點(diǎn)為F'，由垂直平分線的性質(zhì)可得|AE|=|AF|，
又|BF|=|AF'|，
由|AE|+|BF|=6，可得|AF|+|AF'|=2a=6，即a=3，
設(shè)E（m，n），由對(duì)稱可得$\frac{n-0}{m-c}$=-2，$\frac{1}{2}$n=$\frac{m+c}{4}$，
解得m=$\frac{3}{5}$c，n=$\frac{4}{5}$c，
代入橢圓方程可得$\frac{9{c}^{2}}{25×9}$+$\frac{16{c}^{2}}{25^{2}}$=1，
由c²=9-b²，化簡(jiǎn)可得b⁴+32b²-144=0，
解得b=2，
可得橢圓的短軸長(zhǎng)為4．  故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的短軸長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱的結(jié)論，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．