Question

1．如圖，設(shè)M為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）上任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，探求平行四邊形MAOB的面積，由此可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n）是雙曲線上任一點(diǎn)，求出雙曲線的漸近線方程，由平行線的性質(zhì)，求得AM 的方程，聯(lián)立直線OA的方程，求得A的坐標(biāo)，求出|OA|，M點(diǎn)到OA的距離，利用平行四邊形的面積公式可得MAOB的面積，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合點(diǎn)M滿足雙曲線的方程，化簡(jiǎn)整理即可得到定值$\frac{1}{2}$ab．

解答 解：雙曲線的漸近線方程是：bx±ay=0，
設(shè)M（m，n）是雙曲線上任一點(diǎn)，
過(guò)M平行于OB：bx+ay=0的方程是：bx+ay-bm-an=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{bx-ay=0}\\{bx+ay-bm-an=0}\end{array}\right.$，得兩直線交點(diǎn)A（$\frac{bm+an}{2b}$，$\frac{bm+an}{2a}$），
|OA|=$\sqrt{（\frac{bm+an}{2b}）^{2}+（\frac{bm+an}{2a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{c|bm+an|}{ab}$，
M點(diǎn)到OA的距離是：d=$\frac{|bm-an|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{|bm-an|}{c}$，
可得平行四邊形MAOB的面積為S=|OA|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{c|bm+an|}{ab}$•$\frac{|bm-an|}{c}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{ab}$，
由M在雙曲線上，可得b²m²-a²n²=a²b²，
可得S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}^{2}}{ab}$=$\frac{1}{2}$ab，
即有平行四邊形MAOB的面積為定值$\frac{1}{2}$ab．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式和平行四邊形的面積的計(jì)算，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．