17.已知a∈R,函數(shù)f(x)=$\frac{1}{6}$x3+$\frac{1}{2}$(a-2)x2+b,g(x)=2alnx.
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處的切線互相垂直,求a,b的值;
(2)設(shè)F(x)=f′(x)-g(x),若對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有$\frac{{F({x_1})-F({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$>a,求a的取值范圍.

分析 (1)依題意有f′(1)×g′(1)=-1,f(1)=g(1),聯(lián)立解出即可得出.
(2)F(x)=f′(x)-g(x)=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+(a-2)x-2alnx,不妨設(shè)x1>x2,則$\frac{{F({x_1})-F({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$>a,等價(jià)于F(x1)-ax1>F(x2)-ax2.設(shè)G(x)=F(x)-ax,則對(duì)任意的對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有$\frac{{F({x_1})-F({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$>a,等價(jià)于函數(shù)G(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)f′(x)=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+(a-2)x,g′(x)=$\frac{2a}{x}$(x>0).
依題意有f′(1)×g′(1)=-1,f(1)=g(1),可得:$\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2}+a-2)×2a=-1}\\{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}(a-2)+b=0}\end{array}\right.$,解得a=1,b=$\frac{1}{3}$或a=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{7}{12}$.
(2)F(x)=f′(x)-g(x)=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+(a-2)x-2alnx,不妨設(shè)x1>x2,則$\frac{{F({x_1})-F({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$>a,
等價(jià)于F(x1)-ax1>F(x2)-ax2
設(shè)G(x)=F(x)-ax,則對(duì)任意的對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有$\frac{{F({x_1})-F({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$>a,
等價(jià)于函數(shù)G(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
G(x)=F(x)-ax=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x-2alnx,G′(x)=x-2-$\frac{2a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$,
依題意有,對(duì)任意x>0,有x2-2x-2a≥0恒成立.
∴2a≤x2-2x=(x-1)2-1,可得$a≤-\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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