Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=x²-2x．若x∈[4，6）時，不等式f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，則t的取值范圍為（　　）

• A． [-2，0）∪[1，+∞）
• B． （-∞，2]∪（0，1]
• C． [-2，0）∪（0，1）
• D． [-2，0）∪（0，1]

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=2f（x+2）得出f（x-4）=4f（x），由x∈[0，2）時f（x）的解析式求出x∈[4，6）時f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，把不等式f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$化為$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$≤-$\frac{1}{4}$，求出它的解集即可．

解答 解：由題意，定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2），
∴f（x-2）=2f（x），f（x-4）=2f（x-2）；
即f（x-4）=4f（x）；
又當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=x²-2x；
當(dāng)x∈[4，6）時，x-4∈[0，2），
∴f（x-4）=（x-4）²-2（x-4）=x²-10x+24，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+6，
且f（x）圖象的對稱軸為x=5，最小值為f（5）=-$\frac{1}{4}$；
又不等式f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，
即$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$≤-$\frac{1}{4}$恒成立，
∴$\frac{{t}^{2}+t-2}{4t}$≤0，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{{t}^{2}+t-2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{{t}^{2}+t-2≤0}\end{array}\right.$，
解得t≤-2或0＜t≤1；
∴t的取值范圍是（-∞，-2]∪（0，1]．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，考查了是綜合性題目．