Question

【題目】四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，.,且平面，，點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，在上.且.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；

（Ⅲ）請(qǐng)畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）四邊形為平面與四棱錐的表面的交線

【解析】分析：（Ⅰ）推導(dǎo)出，由此能證明平面；

（Ⅱ）推導(dǎo)出，，，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立空間直角做消息，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值；

（Ⅲ）法1：延長(zhǎng)分別交延長(zhǎng)線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點(diǎn)，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

法2：記平面與直線的交點(diǎn)為，設(shè)，，利用向量法求出，從而即為點(diǎn).連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

解析：解:（Ⅰ）在中，因?yàn)辄c(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，

所以

因?yàn)?/span>平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為2的菱形，

所以，

因?yàn)?/span>平面，

所以，，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可得

，，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，則由可得，

令，可得

因?yàn)?/span>.

所以直線與平面的成角的正弦值為

（Ⅲ）法Ⅰ：延長(zhǎng)分別交延長(zhǎng)線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點(diǎn)，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

法2：記平面與直線的交點(diǎn)為，設(shè)，則

由，可得.

所以即為點(diǎn).

所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.