Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對(duì)稱中心為M（x₀，f（x₀）），記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數(shù)f（x）=x³-3x²，則
①f（x）的對(duì)稱中心是

 

②：f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=

 

．

Answer 1

分析：由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011對(duì)-4和一個(gè)f（1）=-2，可得答案．

解答：解：①由題意f（x）=x³-3x²，
則f′（x）=3x²-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得6x₀-6=1
解得x₀=1，而f（1）=-2，
故函數(shù)f（x）=x³-3x²關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱，
②∵函數(shù)f（x）=x³-3x²關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
故f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=-4×2011+（-2）=-8046．
故答案為：①（1，-2），②-8046

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵．