Question

1．已知圓O：x²+y²=4及點(diǎn)P（1，1），圓C的圓心在直線(xiàn)y=2x上，且與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．
（1）求直線(xiàn)AB的方程及兩圓公共弦長(zhǎng)；
（2）若圓O與圓C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，求圓C的圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意，直線(xiàn)AB的斜率為-$\frac{1}{2}$，可得直線(xiàn)AB的方程；求出O到直線(xiàn)的距離d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，可得兩圓公共弦；
（2）利用圓O與圓C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，可得OA⊥CA，求出OC，即可求圓C的圓心坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意，直線(xiàn)AB的斜率為-$\frac{1}{2}$，∴直線(xiàn)AB的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0；
O到直線(xiàn)的距離d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，∴兩圓公共弦長(zhǎng)=2$\sqrt{4-\frac{9}{5}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．
（2）∵圓O與圓C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，
∴OA⊥CA，
∴16=$\frac{3}{\sqrt{5}}$×OC，
∴OC=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，
設(shè)C（a，2a），則a²+4a²=$\frac{256×5}{9}$，∴a=±$\frac{16}{3}$，
∴C（$\frac{16}{3}$，$\frac{32}{3}$）或（-$\frac{16}{3}$，-$\frac{32}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．