Question

11．若x∈A，且$\frac{1}{1-x}$∈A，則稱集合A為“和諧集”．已知集合M={-2，-1，-$\frac{1}{2}$，0，1，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，2，3}，求集合M的子集中的“和諧集”．

Answer 1

分析 根據(jù)元素關(guān)系進(jìn)行遞推即可．

解答 解：當(dāng)x=-2時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{3}$∉M，故-2不是“和諧集”中的元素；
當(dāng)x=-1時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{2}$∈M，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=2∈M，
當(dāng)x=2時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=-1∈M，
∴-1，$\frac{1}{2}$，2可以作為“和諧集”中的一組元素．
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=$\frac{2}{3}$∈M，
當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=3∈M，
當(dāng)x=3時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=-$\frac{1}{2}$∈M，
∴-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，3可以作為“和諧集”中的一組元素．
當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{1}{1-x}$=1∈M，
當(dāng)x=1時(shí)，$\frac{1}{1-x}$無意義，
∴0，1不可以作為“和諧集”中的一組元素．
∴集合M的子集為“和諧集”，其元素只能能兩組元素中選取一組或兩組，
故“和諧集”有{-1，$\frac{1}{2}$，2}，{-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，3}，{-1，$\frac{1}{2}$，2，-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，3}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與集合有關(guān)的新定義，根據(jù)元素關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．