分析 (I)由AE⊥平面CDE得出CD⊥AE,又CD⊥AD,得出CD⊥平面ADE,于是平面ABCD⊥平面ADE;
(II)以D為原點建立空間直角坐標系,求出$\overrightarrow{DA}$和平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$,則線AD與面AEF所成角的正弦值為|cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{DA}$>|.
解答 證明:(1)∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,
∴AE⊥CD.
∵四邊形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.
又AD?平面ADE,AE?平面ADE,AD∩AE=A,
∴CD⊥平面ADE,又CD?平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面ADE.
(II)過A作z軸∥AE,則z軸⊥平面CDE.
∵CD⊥平面ADE,DE?平面ADE,
∴CD⊥DE.
以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,
則D(0,0,0),A(0,$\sqrt{3}$,1),E(0,$\sqrt{3}$,0),F(xiàn)(2,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2}{3}$).
∴$\overrightarrow{DA}$=(0,$\sqrt{3}$,1),$\overrightarrow{EA}$=(0,0,1),$\overrightarrow{EF}$=(2,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2}{3}$).
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{2x-\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$,令x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,2$\sqrt{3}$,0).
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}$=6,|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{13}$,|$\overrightarrow{DA}$|=2,
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{DA}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DA}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$.
∴直線AD與面AEF所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$.
點評 本土你考查了面面垂直的判定,線面角的計算,考查了空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.
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