Question

7．已知B₁，B₂是雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1的虛軸頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂其焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，圓C是△PF₁F₂的內(nèi)切圓，則△CB₁B₂的面積為$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的方程可知：焦點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（-3，0）根據(jù)雙曲線定義丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a=4，由圓的切線長(zhǎng)定理知：丨PM丨=丨PN丨，則丨MF₁丨-丨NF₂丨=4，丨HF₁丨-丨HF₂丨=4，即（x+c）-（c-x）=4，即可求得C的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式可知：${S}_{△C{B}_{1}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨B₁B₂丨•x即可求得△CB₁B₂的面積．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1，焦點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（-3，0）
設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，
PF₁、PF₂與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M、N，
∵由雙曲線的定義可得：丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a=4，
由圓的切線長(zhǎng)定理知：丨PM丨=丨PN丨，
故丨MF₁丨-丨NF₂丨=4
即丨HF₁丨-丨HF₂丨=4
設(shè)內(nèi)切圓的圓心I橫坐標(biāo)為x，內(nèi)切圓半徑r，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，
故（x+c）-（c-x）=4，解得：x=2，
${S}_{△C{B}_{1}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨B₁B₂丨•x=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2=$2\sqrt{5}$，
故答案為：$2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，圓的切線長(zhǎng)定理，三角形的面積公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．