Question

17．若不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求p、q的值；
（2）求不等式$\frac{{{x^2}+px+q}}{{{x^2}-x-6}}$≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）由不等式與對(duì)應(yīng)一元二次方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出q、p的值；
（2）由p、q的值，把不等式化為$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x-6}$≥0，利用符號(hào)法則求出解集即可．

解答 解：（1）∵不等式x²+px+q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
∴1和2是一元二次方程x²+px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-p}\\{1×2=q}\end{array}\right.$，
解得q=2，p=-3；
（2）由p=-3，q=2，
不等式$\frac{{{x^2}+px+q}}{{{x^2}-x-6}}$≥0化為$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-x-6}$≥0，
即$\frac{（x-1）（x-2）}{（x+2）（x-3）}$≥0，
且該不等式對(duì)應(yīng)方程的四個(gè)根為-2，1，2和3，
由符號(hào)法則解得該不等式的解集為（-∞，-2）∪[1，2]∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題．