Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若直線y=3x-1是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e²]上的最大值為1-ae（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ln（2x²-x-3t）+x²-x-t=ln（x-t）有且僅有唯一的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到x=$\frac{1}{a+3}$，求出f（$\frac{1}{a+3}$）=ln$\frac{1}{a+3}$-$\frac{a}{a+3}$，代入直線y=3x-1求得a值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類得到函數(shù)在[1，e²]上的單調(diào)性，并進(jìn)一步求出函數(shù)在[1，e²]上的最大值，由最大值等于1-ae求得a值；
（3）把ln（2x²-x-3t）+x²-x-t=ln（x-t）轉(zhuǎn)化為ln（2x²-x-3t）$+\frac{1}{2}$（2x²-x-3t）=ln（x-t）$+\frac{1}{2}$（x-t），構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{1}{2}x$，則g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到$\left\{\begin{array}{l}{t＜\frac{2{x}^{2}-x}{3}}\\{t＜x}\\{t={x}^{2}-x}\end{array}\right.$，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-ax，得f′（x）=$\frac{1}{x}-a$=3，
∴x=$\frac{1}{a+3}$，則f（$\frac{1}{a+3}$）=ln$\frac{1}{a+3}$-$\frac{a}{a+3}$，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{a+3}$-$\frac{a}{a+3}$=$\frac{3}{a+3}-1$，得ln$\frac{1}{a+3}$=0，即a=-2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}-a$，
當(dāng)a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$時，f′（x）≥0在[1，e²]上恒成立，故f（x）在[1，e²]上為增函數(shù)，
故f（x）的最大值為f（e²）=2-ae²=1-ae，得$a=\frac{1}{{e}^{2}-e}$（舍）；
當(dāng)$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜1時，若x∈[1，$\frac{1}{a}$]，f′（x）＞0，x∈[$\frac{1}{a}，{e}^{2}$]，f′（x）＜0，
故f（x）在[1，e²]上先增后減，故$f（x）_{max}=f（\frac{1}{a}）=-lna-1$
由-lna-1=1-ae，解得a=$\frac{1}{e}$；
當(dāng)a≥1時，故當(dāng)x∈[1，e²]時，f′（x）≤0，f（x）是[1，e²]上的減函數(shù)，
故f（x）_max=f（1）=-a=1-ae，得a=$\frac{1}{e-1}$（舍）；
綜上，a=$\frac{1}{e}$；
（3）ln（2x²-x-3t）+x²-x-t=ln（x-t）?ln（2x²-x-3t）$+\frac{1}{2}$（2x²-x-3t）=ln（x-t）$+\frac{1}{2}$（x-t），
令g（x）=lnx+$\frac{1}{2}x$，則g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（2x²-x-3t）=g（x-t），
∴2x²-x-3t=x-t⇒2（x²-x-t）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-t=0有唯一實根}\\{x-t＞0}\\{2{x}^{2}-x-3t＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{t＜\frac{2{x}^{2}-x}{3}}\\{t＜x}\\{t={x}^{2}-x}\end{array}\right.$，
作出圖象如圖：由圖可知，實數(shù)t的取值范圍是t=-$\frac{1}{4}$或0≤t＜2．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，難度較大．