Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x（x≥0），當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=4f（x）．若函數(shù)g（x）=f（x）-ax-a（a＞0）有唯一零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{e}$，e）
• C． （$\frac{1}{4}$，e）
• D． （$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 由題意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}{e^{-x}}（x＜0）\\{e^x}（x≥0）\end{array}\right.$，y=f（x）與y=ax+a（a＞0）有唯一交點(diǎn)．由f'（x）=e^x（x≥0），得切線方程為y-e^m=e^m（x-m），由此能求出結(jié)果．

解答  解：由題意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}{e^{-x}}（x＜0）\\{e^x}（x≥0）\end{array}\right.$，
∵函數(shù)g（x）=f（x）-ax-a（a＞0）有唯一零點(diǎn)，
∴y=f（x）與y=ax+a（a＞0）有唯一交點(diǎn)．
由圖可得a₁＜a＜a₂，
由題意得，${a_1}=\frac{1}{4}$，
∵f'（x）=e^x（x≥0），設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
∴切線斜率k=f'（m）=e^m=a₂，
切線方程為y-e^m=e^m（x-m），且過點(diǎn)（-1，0）
解得m=0，∴${a_2}={e^0}=1$，
∴$\frac{1}{4}＜a＜1$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．