Question

已知半圓x²+y²=4（y≥0），動圓與此半圓相切且與x軸相切．
（1）求動圓圓心的軌跡，并畫出其軌跡圖形．
（2）是否存在斜率為的直線l，它與（1）中所得軌跡的曲線由左到右順次交于A、B、C、D四點，且滿足|AD=2|BC|．若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出動圓圓心M的坐標，且過圓心作x軸的垂線MN，垂足為N，當兩圓外切時，根據(jù)兩圓外切時兩圓心的距離等于兩半徑相加，可得|MO|等于|MN|+2，利用兩點間的距離公式化簡可得動圓的軌跡方程；當兩圓內(nèi)切時，根據(jù)兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得，|MO|等于2-|MN|，利用兩點間的距離公式可得動圓的軌跡方程，分別根據(jù)求出的軌跡方程在平面直角坐標系中畫出相應的圖象即可；
（2）根據(jù)已知直線的斜率設出直線的方程，聯(lián)立所設直線與圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據(jù)|AD=2|BC|，利用韋達定理化簡即可求出點A和點D的橫坐標，根據(jù)動圓方程軌跡方程可得曲線橫坐標范圍，可得這樣的直線不存在．
解答：解：（1）設動圓圓心為M（x，y），做MN⊥x軸交x軸于N．
若兩圓外切，|MO|=|MN|+2，
所以，
化簡得x²=4（y+1）（y＞0）；
若兩圓內(nèi)切，|MO|=2-|MN|，
所以，
化簡得x²=-4（y-1）（y＞0）
綜上，動圓圓心的軌跡方程為x²=4（y+1）（y＞0）及x²=-4（y-1）（y＞0），
其圖象是兩條拋物線位于x軸上方的部分，作簡圖如圖：


（2）設直線l存在其方程可設為，
依題意，它與曲線x²=4（y+1）（y＞0）交于A，D，
與曲線x²=-4（y-1）（y＞0）交于B，C
由與
得3x²-4x-12b-12=0及3x²+4x+12b-12=0，，
∴|x_D-x_A|=2|x_B-x_C|
即
解得，
將代入方程3x²-4x-12b-12=0
得
因為曲線x²=4（y+1）中橫坐標范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞），
所以這樣的直線不存在．
點評：此題考查學生掌握圓與圓的位置關系所滿足的條件，靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．