Question

8．甲乙兩個口袋分別裝有四張撲克牌，甲口袋內的四張牌分別為紅桃A，方片A，黑桃Q與梅花K，乙口袋內的四張牌分別為黑桃A，方片Q，梅花Q與黑桃K，從兩個口袋分別任取兩張牌．
（Ⅰ）求恰好抽到兩張A的概率．
（Ⅱ）記四張牌中含有黑桃的張數(shù)為x，求x的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}$=36，恰好抽到兩張A包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}•{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}$=15，由此能求出恰好抽到兩張A的概率．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）甲乙兩個口袋分別裝有四張撲克牌，
甲口袋內的四張牌分別為紅桃A，方片A，黑桃Q與梅花K，
乙口袋內的四張牌分別為黑桃A，方片Q，梅花Q與黑桃K，
從兩個口袋分別任取兩張牌．
基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}$=36，
恰好抽到兩張A包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}•{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}$=15，
∴恰好抽到兩張A的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{36}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{36}$=$\frac{1}{12}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

E（X）=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想，是中檔題．