Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ex ， 其中e是白然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…
（I）若函數(shù)φ（x）=f（x）﹣求函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù)f（x）的圖象上一點(diǎn)A（x0 ， f（x0）處的切線，證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x0 ， 使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）φ（x）=f（x）﹣=lnx﹣，φ′（x）=+，
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，
∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）；
（Ⅱ）證明：∵f′（x）=，∴f′（x0）=，
∴切線l的方程為y﹣lnx0=（x﹣x0），
即y=x+lnx0﹣1，①
設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（x1 ， ），
∵g'（x）=ex ， ∴=，∴x1=﹣lnx0 ．
∴直線l也為y﹣=（x+lnx0），
即y=x++，②
由①②得lnx0﹣1=+，
∴l(xiāng)nx0=．
下證：在區(qū)間（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=lnx﹣在區(qū)間（1，+∞）上遞增．
又φ（e）=lne﹣=＜0，φ（e2）=lne2﹣=＞0，
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區(qū)間（e，e2）上有唯一的根，
這個(gè)根就是所求的唯一x0 ．
故結(jié)論成立．
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)恒大于0，從而可得求函數(shù)φ （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先求直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A（x0 ， f （x0））處的切線方程，再設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（x1 ， ），進(jìn)而可得lnx0= ， 再證明在區(qū)間（1，+∞）上x0存在且唯一即可。