Question

7．在正四棱錐P-ABCD中，所有的棱長(zhǎng)均為2，則側(cè)棱與底面ABCD所成的角和該四棱錐的體積分別為（　�。�

• A． 45^°，$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• B． 30^°，$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• C． 60^°，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． 75^°，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC，過(guò)S作SO⊥底面ABCD，垂足為O，推導(dǎo)出AC=2$\sqrt{2}$，O是AC中點(diǎn)，SO=$\sqrt{2}$，從而∠SAO是側(cè)棱與底面ABCD所成的角，由此能求出側(cè)棱與底面ABCD所成的角和該四棱錐的體積．

解答 解：連結(jié)AC，過(guò)S作SO⊥底面ABCD，垂足為O，
∵在正四棱錐P-ABCD中，所有的棱長(zhǎng)均為2，
∴AC=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，O是AC中點(diǎn)，SO=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴∠SAO是側(cè)棱與底面ABCD所成的角，
∵SO=AO，且SO⊥AO，∴∠SAO=45°，
∴側(cè)棱與底面ABCD所成的角為45°．
該四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方體ABCD}×SO$=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小和四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．