Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足2^x+2+4^y=2^x+2y+1，則2^x+4^y的最小值是（　�。�

• A、4
• B、

  9

  2

• C、6
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布進(jìn)行求解即可．

解答： 解：∵2^x+2+4^y=2^x+2y+1，
∴2×2^x2^2y=4×2^x+4^y，①
設(shè)t=2^x+4^y，則t＞0，
則4^y=t-2^x，
則①等價(jià)為2×2^x（t-2^x）=4×2^x+t-2^x，
整理得2（2^x）²+（3-2t）2^x+t=0，
設(shè)m=2^x，則m＞0，
則方程2（2^x）²+（3-2t）2^x+t=0等價(jià)為2m²+（3-2t）m+t=0，
有正根，
則滿足

△=(3-2t)2-8t≥0 2t＞0 - 3-2t 2 ＞0

，
即

4t2-20t+9≥0 t＞0 3-2t＜0

，即

t≥ 9 2 或t≤ 1 2 t＞0 t＞ 3 2

，
解得t≥

9

2

，
∴2^x+4^y的最小值是

9

2

，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．