Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，對任意的x∈[-1，1]都有|f（x）|≤$\frac{1}{2}$．
（1）求|f（2）|的最大值；
（2）求證：對任意的x∈[-1，1]，都有|g（x）|≤1．

Answer 1

分析 （1）由|f（x）|≤$\frac{1}{2}$得|f（0）|≤$\frac{1}{2}$，|f（1）|≤$\frac{1}{2}$，|f（-1）|≤$\frac{1}{2}$，代入解析式即可得出a，b，c的關(guān)系，使用放縮法求出|f（2）|的最值；
（2）由（1）得出|g（±1）|$≤\frac{1}{2}$，故g（x）單調(diào)時結(jié)論成立，當g（x）不單調(diào)時，g（x）=a，利用不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵對任意的x∈[-1，1]都有|f（x）|≤$\frac{1}{2}$．
|f（0）|≤$\frac{1}{2}$，|f（1）|≤$\frac{1}{2}$，|f（-1）|≤$\frac{1}{2}$，
∴|c|≤$\frac{1}{2}$，|a+b+c|≤$\frac{1}{2}$，|a-b+c|≤$\frac{1}{2}$；
∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|3（a+b+c）|+|（a-b+c）|+|-3c|≤$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$．
∴|f（2）|的最大值為$\frac{7}{2}$．
（2）∵-$\frac{1}{2}$≤a+b+c≤$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$≤a-b+c≤$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$≤c≤$\frac{1}{2}$，
∴-1≤a+b≤1，-1≤a-b≤1，
∴-1≤a≤1，
若c|x|+bx=0，則|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，
若c|x|+bx≠0，則g（x）為單調(diào)函數(shù)，
|g（-1）|=|a-b+c|≤$\frac{1}{2}$，|g（1）|=|a+b+c|≤$\frac{1}{2}$，
∴|g（x）|$≤\frac{1}{2}$．
綜上，|g（x）|≤1．

點評 本題考查了絕對值三角不等式，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．