Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)（常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的最大整數(shù)值.

Answer 1

【答案】(1) 時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.

(2) 的最大整數(shù)值為3.

【解析】分析：（Ⅰ）先求導，再分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

（Ⅱ）分離參數(shù)，轉化為對于恒成立.再根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的最值的關系，通過分類討論，求出的取值范圍，進而求出的最大整數(shù)值.

詳解：解：（Ⅰ）.

①當時，由，得，此時在上為增函數(shù).

②當時，令，有，

∴在上為增函數(shù)，

令，有，∴在上為減函數(shù)，

綜上，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）∵對于恒成立，

即對于恒成立.

由函數(shù)的解析式可得：，分類討論：

①由（Ⅰ）知，時，在上為增函數(shù)，

∴，

∴恒成立，∴.

②當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)i.

∴，∴，

∴，

設，

∴，

∴在上遞增，而，

，，，

∴在上存在唯一使得，且，

∵，∴的最大整數(shù)值為3，使，即的最大整數(shù)值為3.

綜上，的最大整數(shù)值為3.