Question

10．在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和（n∈N^*），且a₃=5，S₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題已知等差數(shù)列，及a₃=5，S₃=9．可運(yùn)用通項(xiàng)公式及求和公式，化為基本量a₁，d，建立方程可求出a₁，d，則可得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可利用${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求出{b_n}的通項(xiàng)公式，觀察可運(yùn)用裂項(xiàng)法求和．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{3{a}_{1}+6d=9}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴所以通項(xiàng)公式為：a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和方法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．