Question

18．設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，給出下列五個(gè)判斷：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β則α⊥β；
②若m?β，n是l在β內(nèi)的射影，n⊥m，則m⊥l；
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的16倍，則球的體積擴(kuò)大為原來(lái)的32倍；
⑤若圓x²+y²=4上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線：l：y=x+b的距離為1，則b=$\sqrt{2}$
其中正確的為①②．

Answer 1

分析 在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，由三垂直定理得m⊥l；在③中，底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐；在④中，若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的16倍，則球的體積擴(kuò)大為原來(lái)的64倍；在⑤中，b=±$\sqrt{2}$．

解答 解：由l，m，n為三條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，知：
在①中，若l⊥α，m⊥l，m⊥β，則面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正確；
在②中，若m?β，n是l在β內(nèi)的射影，n⊥m，則由三垂直定理得m⊥l，故②正確；
在③中，底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，
例如以底邊為腰的兩個(gè)等腰三角形側(cè)面，第三側(cè)面也是等腰三角形，但這樣的三棱錐顯然不是正三棱錐，故③錯(cuò)誤；
在④中，若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的16倍，則球的體積擴(kuò)大為原來(lái)的64倍，故④錯(cuò)誤；
在⑤中，由圓C的方程：x²+y²=4，可得圓C的圓心為原點(diǎn)O（0，0），半徑為2
若圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，則O到直線l：y=x+b的距離d等于1
直線l的一般方程為：x-y+b=0，∴d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，
解得b=±$\sqrt{2}$，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系、正三棱錐、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．