Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1  ，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[

π

12

，

π

4

]上的最大值和最小值，并求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的自變量x的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式
（1）利用周期公式求出函數(shù)的周期；
（2）求出2x+

π

6

∈[

π

3

，

2π

3

]，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，寫出求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的自變量x的值．

解答：解：f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）∵x∈[

π

12

，

π

4

]∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

2π

3

]
∴當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f(x)max=

1

2

+

5

4

=

7

4

當(dāng)2x+

π

6

=

π

3

或2x+

π

6

=

2π

3

時(shí)，即x=

π

12

或x=

π

4

時(shí)，f(x)min=-

1

2

+

5

4

=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)周期性及其求法，三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．