Question

【題目】已知雙曲線的兩頂點分別為，為雙曲線的一個焦點，為虛軸的一個端點，若在線段上（不含端點）存在兩點，使得，則雙曲線的漸近線斜率的平方的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據題意可知，若在線段上（不含端點）存在兩點，使得，則以為直徑的圓與直線相交，利用直線與圓的位置關系和點到直線距離公式求解.

雙曲線的兩頂點分別為，為雙曲線的一個焦點，為虛軸的一個端點，

則可得，

則直線的方程為

若在線段上（不含端點）存在兩點，使得，

則以為直徑的圓與直線相交，

圓的方程和半徑分別為 ，

所以滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，

化簡可得 ，

又因為，代入上式化簡可得，

將不等式兩邊同時除以可得，

令，上述不等式可化為

令解得，（舍），

所以的解集為，即，

因為兩個交點位于線段上（不含端點），

所以，即，

綜上可知，

故選：A.