如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD^底面ABCD,PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),作EF^PB交PB于點(diǎn)F,
(1)求證:PA//平面EDB;
(2)求證:PB^平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).
解析試題分析:(1)證明線面平行,由判定定理,可證明PA與平面EDB內(nèi)的一條直線平行. 連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接EO.即可通過(guò)中位線的性質(zhì)證明EO//PA,從而證明了本題;(2)證明線面垂直,由判定定理,可證明PB與平面EFD內(nèi)兩條相交直線垂直.又題設(shè)條件已給出EF^PB,從而只需再找出一條即可.由題意,可以證明DE⊥面PCB,從而DE⊥PB.本題即可得證;(3)由第(2)問(wèn),通過(guò)垂面法可知∠DFE即為二面角C-PB-D的平面角.又易知DE^EF,再計(jì)算各邊,從而由三角函數(shù)知識(shí)可得二面角C-PB-D的平面角為.
試題解析:(1)證明:連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接EO.
可知O為AC的中點(diǎn),又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),
所以EO//PA, 因?yàn)镋O面EDB,PA面EDB
∴PA//平面EDB 4分
(2)證明:∵側(cè)棱PD^底面ABCD,且BC面ABCD
∴BC ^PD,又BC⊥CD,PD∩CD="D," ∴BC ^面PCD.因?yàn)镈E面PCD, ∴BC ^ DE
又PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),可知DE ^PC.由于PC∩BC=C,所以DE⊥面PCB.
∴DE⊥PB 同時(shí)EF⊥PB,DE∩EF=E
可得 PB^平面EFD 8分
(3)解:由(2)得PB^平面EFD,且EF面CPB,DF面DPB
所以∠DFE即為二面角C-PB-D的平面角.設(shè)PD=DC=2
在Rt△DEF中,DE^EF,且DE=,PF=.
∴sin∠DFE=,因此二面角C-PB-D的平面角為. 12分
考點(diǎn):1.直線與平面平行的判定;2.直線與平面垂直的判定;3.二面角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,平面,,為側(cè)棱上一點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.
(1)證明:平面;
(2)在的平分線上確定一點(diǎn),使得平面,并求此時(shí)的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,是邊長(zhǎng)為3的正方形,,,與平面所成的角為.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),試確定的位置,使得,并證明你的結(jié)論.
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(如圖1)在平面四邊形中,為中點(diǎn),,,且,現(xiàn)沿折起使,得到立體圖形(如圖2),又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn),并且ABCD為正方形,設(shè)F,G,H分別為PB,EB,PC的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積;
(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使直線與直線所成角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知矩形中,,,將矩形沿對(duì)角線把折起,使移到點(diǎn),且在平面上的射影恰好在上.
(1)求證:;
(2)求證:平面平面;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)AB=1.
(Ⅰ)求異面直線A1B與 B1C所成角的大;(Ⅱ)求證:平面A1BD∥平面B1CD1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,平面,四邊形是矩形,,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),
(1)求平面和平面所成二面角的大小,
(2)求證:平面
(3)當(dāng)的長(zhǎng)度變化時(shí),求異面直線PC與AD所成角的可能范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在多面體中,四邊形是矩形,∥,,平面.
(1)若點(diǎn)是中點(diǎn),求證:.
(2)求證:.
(3)若求.
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