Question

已知A、B、C為△ABC的三個內角，且其對邊分別為a，b，c，這向量

m

=(cosB，sinC)，

n

=(cosC，-sinB)，且

m

•

n

=

1

2

．
（1）求內角A的大小；
（2）若a=2

3

，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可由數量積公式及

m

•

n

=

1

2

建立方程，得到cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，再利用余弦的和角公式化簡即可得角A；
（2）由a=2

3

及（1）可得b²+c²+bc=12，由S=

1

2

bcsinA知，可由基本不等式由b²+c²+bc=12求出bc的最大值，從而解出三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=

1

2

，…（3分）
又A、B、C為三角形的三個內角，
∴B+C=60°，∴A=120°．…（7分）
（2）∵a=2

3

，a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²+bc=12，…（10分）
又b²+c²≥2bc（當且僅當b=c時取“=”），
∴12≥3bc，
∴bc≤4…（12分）
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

．…（13分）
∴當b=c時，三角形ABC的面積S的最大值為

3

．…（14分）

點評：本題考點是解三角形，考查數量積的坐標表示做工，基本不等式的運用，余弦定理，余弦的和角公式，涉及到的公式較多，綜合性較強，解題的關鍵是熟練掌握公式及由題意判斷出解題的方向，本題的難點是由三角形的面積公式得出利用基本不等式求bc的最值，本題考察了利用公式靈活變形的能力及判斷推理的能力