Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)是線段AD₁，DB上的點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：EF∥平面CD₁．
（2）求異面直線BD與B₁C₁．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）作EH⊥DD₁于H，F(xiàn)G⊥CD于G，連接HG．可以證明四邊形EFGH是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）由于BC∥B₁C₁，可得∠CDB即為異面直線BD與B₁C₁所成的角．

解答： （1）證明：作EH⊥DD₁于H，F(xiàn)G⊥CD于G，連接HG．
∵AD₁=BD，AE=BF，∴ED₁=FD，
又∠EHD₁=∠FGD=90°，∠ED₁H=∠FDG=45°，
∴△EHD₁≌△FGD，EH=FG，
又∵EH∥AD∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EF∥HG，
∵EF?平面CD₁．HG?平面CD₁．
∴EF∥平面CD₁．
（2）∵BC∥B₁C₁，
∴∠CDB即為異面直線BD與B₁C₁所成的角．
∵∠CDB=45°．
∴異面直線BD與B₁C₁所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的角、正方體的性質(zhì)，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．