【題目】設(shè),函數(shù).
(1)若,極大值;
(2)若無零點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若有兩個相異零點(diǎn),,求證:.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析.
【解析】分析:(1),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可知的極大值為;
(2) ,就分類討論即可;
(3)根據(jù)可以得到,因此原不等式的證明可化為,可用導(dǎo)數(shù)證明該不等式.
詳解:(1)當(dāng)時,,
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
故的極大值為.
(2),
①若時,則,是區(qū)間上的增函數(shù),
∵,,
∴,函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn);
②若,有唯一零點(diǎn);
③若,令,得,
在區(qū)間上,,函數(shù)是增函數(shù);
在區(qū)間上,,函數(shù)是減函數(shù);
故在區(qū)間上,的極大值為,
由于無零點(diǎn),須使,解得,
故所求實數(shù)的取值范圍是.
(3)由已知得,
所以,
故等價于即.
不妨設(shè),令,,
則,在上為單調(diào)增函數(shù),
所以即,也就是,故原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列三角形數(shù)表:
假設(shè)第n行的第二個數(shù)為 ,
(1)歸納出an+1與an的關(guān)系式,并求出an的通項公式;
(2)設(shè)anbn=1(n≥2),求證:b2+b3+…+bn<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了對2016年某校中考成績進(jìn)行分析,在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)(已折算為百分制)從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95. 參考公式:相關(guān)系數(shù) ,
回歸直線方程是: ,其中 ,
參考數(shù)據(jù): , , , .
(1)若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀,求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率;
(2)若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實上對應(yīng)如下表:
學(xué)生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分?jǐn)?shù)y | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
化學(xué)分?jǐn)?shù)z | 67 | 72 | 76 | 80 | 84 | 87 | 90 | 92 |
①用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度;
②求y與x、z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01),當(dāng)某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分時,估計其物理、化學(xué)兩科的得分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時, .現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象,如圖所示,并根據(jù)圖象:
(1)直接寫出函數(shù), 的增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的有________(只填序號)
①若直線與平面有無數(shù)個公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi);
②若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;
③若兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線一定與該平面相交;
④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面;
⑤若平面α∥平面β,直線aα,直線bβ,則直線a∥b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若D′是平面α外一點(diǎn),則下列命題正確的是( )
A.過D′只能作一條直線與平面α相交
B.過D′可作無數(shù)條直線與平面α垂直
C.過D′只能作一條直線與平面α平行
D.過D′可作無數(shù)條直線與平面α平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬元)對年銷售量(單位:噸)和年利潤(單位:萬元)的影響。對近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣傳費(fèi)(萬元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量(噸) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經(jīng)電腦擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)(萬元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式即。對上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量(噸)與年宣傳費(fèi)(萬元)的比值在區(qū)間內(nèi)時認(rèn)為該年效益良好,F(xiàn)從這6年中任選2年,記其中選到效益良好年的數(shù)量為,試求隨機(jī)變量的分布列和期望。(其中為自然對數(shù)的底數(shù), )
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】各項均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且對任意正整數(shù)n,都有2Sn=bn(bn+1).
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)如果等比數(shù)列{an}共有2015項,其首項與公比均為2,在數(shù)列{an}的每相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個(﹣1)kbk(k∈N*)后,得到一個新的數(shù)列{cn}.求數(shù)列{cn}中所有項的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,求實數(shù)λ的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP上,且有點(diǎn)A(1,0)和AP上的點(diǎn)M,滿足 =0, =2 .
(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時,求點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)若斜率為k的直線 l與圓x2+y2=1相切,直線 l與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F,H,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且 ≤ ≤ 時,求k的取值范圍.
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