已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù),且對任意x∈R,都有f(x+2)=
1-f(x)
1+f(x)
,又f(1)=
1
2
,f(2)=
1
4
,則f(2010)等于( 。
分析:直接利用條件求出前幾項,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律為偶數(shù)中4的倍數(shù)對應的為
3
5
,不是4的倍數(shù)對應的值為
1
4
,即可求得結論.
解答:解:都有f(x+2)=
1-f(x)
1+f(x)
,又f(1)=
1
2
,f(2)=
1
4
,
f(4)=
3
5
,f(6)=
1
4
,(8)=
3
5
,f(10)=
1
4

其規(guī)律為偶數(shù)中4的倍數(shù)對應的為
3
5
,不是4的倍數(shù)對應的值為
1
4

而2010不能被4整除,故f(2010)=
1
4

故選C.
點評:本題是對抽象函數(shù)周期性的考查.抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的,它雖然沒有具體的表達式,但是有一定的對應法則,滿足一定的性質,這種對應法則及函數(shù)的相應的性質是解決問題的關鍵.另外,發(fā)掘函數(shù)值出現(xiàn)的規(guī)律也應有做夠的意識.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x+
5x
的定義域為(0,+∞).設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=2x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)|PM|•|PN|是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由;
(2)設點O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+
ax
的定義域為(0,+∞),a>0且當x=1時取得最小值,設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值;
(2)問:PM•PN是否為定值?若是,則求出該定值,若不是,請說明理由;
(3)設O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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