Question

2．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一個(gè)零點(diǎn)為$\frac{π}{3}$，其圖象距離該零點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上恒有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的零點(diǎn)列式得到$\frac{π}{3}$•ω+φ=kπ，再由已知求得周期，進(jìn)一步求得ω，則φ可求，函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求出函數(shù)值域，再由方程f（x）+log₂k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上恒有實(shí)數(shù)解即可求得k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$•ω+φ）=0，即$\frac{π}{3}$•ω+φ=kπ，①
$\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，得ω=2，代入①得φ=$kπ-\frac{2π}{3}$，取k=1，得φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，∴$2x+\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{6}，\frac{5π}{3}$]，得f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
由f（x）+log₂k=0，得log₂k=-f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
∴k∈[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，周期及解析式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．