Question

9．若 A，B是雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$上兩個動點，且$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}=0$，則△AOB面積的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，設(shè)點A（x₁，y₁），y=kx與雙曲線方程聯(lián)立，可得x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，y₁²=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，可求得|OA|²，|OB|²，|OA|²•|OB|²，利用基本不等式即可求得答案．

解答 解：設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，
設(shè)點A（x₁，y₁），y=kx與雙曲線方程聯(lián)立，可得x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，y₁²=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，
∴|OA|²=x₁²+y₁²=$\frac{3+3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，
同理|OB|²=$\frac{3+3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$，
故|OA|²•|OB|²=$\frac{（3+3{k}^{2}）^{2}}{-3+10{k}^{2}-3{k}^{4}}$
∵$\frac{{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}$≤$\frac{1}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時，取等號）
∴|OA|²•|OB|²≥9，又b＞a＞0，
故S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)與三角形的面積，考查基本不等式，考查轉(zhuǎn)化與綜合運算及抽象思維能力，屬于難題．