Question

已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，m為等比中項(xiàng)，則圓錐曲線

x2

m

+y2=1的離心率是

30

6

或

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)等比中項(xiàng)列式，求出m=±6．再分別根據(jù)m=6和m=-6求出相應(yīng)的圓錐曲線方程，利用離心率的公式加以計(jì)算，即可得到該圓錐曲線的離心率．

解答：解：∵實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，
∴m²=4×9=36，得m=±6
當(dāng)m=6時(shí)，圓錐曲線為橢圓

x2

6

+y2=1，得a=

6

，b=1
∴c=

a2-b2

=

5

，離心率為e=

c

a

=

30

6

當(dāng)m=-6時(shí)，圓錐曲線為雙曲線

x2

-6

+y2=1即y2-

x2

6

=1，
得a'=1，b'=6，所以c'=

a′2+b′2

=

7

∴雙曲線的離心率e=

c′

a′

=

7

綜上所述，該圓錐曲線的離心率為

30

6

或

7

故答案為：

30

6

或

7

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的圓錐曲線方程，求圓錐曲線的離心率．著重考查了等比中項(xiàng)的定義與列式、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．