Question

在數(shù)列中，已知，，(，)．

（1）當(dāng)，時(shí)，分別求的值，判斷是否為定值，并給出證明；

（2）求出所有的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)．

 

Answer 1

（1）()．（2）當(dāng)時(shí)，滿足條件.

【解析】

試題分析：（1）第一步是歸納，分別進(jìn)行計(jì)算. 由已知得，．所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．第二步猜想，()．第三步證明，本題可用數(shù)學(xué)歸納法證，也可證等式恒成立，（2）探求整數(shù)解問(wèn)題，一般要構(gòu)造一個(gè)可說(shuō)明的整式. 設(shè)，則，又，且501=1501=3167，故 或所以 或

由解得；由得無(wú)整數(shù)解．所以當(dāng)時(shí)，滿足條件．

試題解析：（1）由已知得，．

所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 2分

猜想：()． 3分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，

將代入上式，可得．

則當(dāng)時(shí)，

．

故當(dāng)結(jié)論成立，

根據(jù)①,②可得，()成立． 5分

（2）將代入，得，

則，，

設(shè)，則，

即， 7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得無(wú)整數(shù)解．

所以當(dāng)時(shí)，滿足條件． 10分

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法