Question

【題目】函數(shù)，其圖象與軸交于， 兩點，且.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）證明： （為的導函數(shù)）.

（Ⅲ）設點在函數(shù)圖象上，且為等腰直角三角形，記，求的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析;（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意圖象與軸交于， 兩點，由零點的定義可得：函數(shù)的圖象要與x軸有兩個交點，而此函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)要對它進行求導，運用導數(shù)與函數(shù)的關系進行求函數(shù)的性質，即： ，a的正負就決定著導數(shù)的取值情況，故要對a進行分類討論：分和兩種情況，其中顯然不成立， 時轉化為函數(shù)的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于， 兩點，結合零點的定義可得： 整理可得： ，觀察其結構特征，可想到整體思想，即： ，目標為： ，運用整體代入化簡可得： ，轉化為對函數(shù)進行研究，運用導數(shù)知識不難得到，即： ，故而是單調增函數(shù)，由不等式知： ，問題可得證; （3）由題意有，化簡得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C= 90°，這樣可得，即，結合直角三角形斜邊的中線性質，可知，所以，即，運用代數(shù)式知識處理可得： ，而，所以，即，所求得

試題解析：（1）．

若，則，則函數(shù)是單調增函數(shù)，這與題設矛盾．

所以，令，則．

當時， ， 是單調減函數(shù)； 時， ， 是單調增函數(shù)；

于是當時， 取得極小值．

因為函數(shù)的圖象與軸交于兩點， (x1＜x2)，

所以，即

此時，存在；

存在 ，

又由在及上的單調性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍.

（2）因為兩式相減得

記，則，

設，則，所以是單調減函數(shù)，

則有，而，所以．

又是單調增函數(shù)，且

所以．

（3）依題意有，則．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C= 90°， 13分

所以，即，

由直角三角形斜邊的中線性質，可知，

所以，即，

所以，

即．

因為，則，

又，所以，

即，所以