Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．

（1）求b的值，判斷并用定義法證明f（x）在R上的單調(diào)性；

（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（-∞，-）．

【解析】

（1）由f（0）=0列式求得b，可得函數(shù)解析式，再由函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；（2）由函數(shù)是奇函數(shù)把不等式f（2x+1）+f（x）＜0變形為f（2x+1）＜-f（x）=f（-x），再由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元一次不等式求解．

（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=，得b=-1．

∴f（x）=．

函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．

證明如下：設(shè)，∈（-∞，+∞），且＞，

則f（）-f（）=

==．

∵＞0，＞0，

又＞，∴＞0，

則f（）-f（）=＞0，即f（）＞f（），

∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；

（2）∵函數(shù)f（x）在R上的奇函數(shù)，

∴f（2x+1）+f（x）＜0f（2x+1）＜-f（x）=f（-x）．

由（1）知，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，

∴2x+1＜-x，即x＜-．

∴不等式f（2x+1）+f（x）＜0的解集為（-∞，-）．