Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB+$\sqrt{3}$acosB=$\sqrt{3}$c．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=5cos²（ωx+$\frac{A}{2}$）-3（ω＞0），將y=f（x）圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的$\frac{3}{2}$
倍后便得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）的最小正周期為π．當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，求出tanA，由內角的范圍求出A；
（Ⅱ）根據(jù)二倍角的余弦公式變形化簡解析式，由周期公式求出ω的值，由x的范圍和余弦函數(shù)的性質求出求函數(shù)f（x）值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$asinB+\sqrt{3}acosB=\sqrt{3}c$，
∴$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinC$…（2分）
∵C=π-（A+B），
∴$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sin（A+B）$=$\sqrt{3}（sinAcosB+cosAsinB）$，
則$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，
∵sinB≠0，∴$tanA=\sqrt{3}$，
由0＜A＜π得，$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）$f（x）=5co{s}^{2}（ωx+\frac{π}{6}）-3$=$\frac{5}{2}[1+cos（2ωx+\frac{π}{3}）]-3$
=$\frac{5}{2}cos（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，
∴$g（x）=\frac{5}{2}cos（\frac{4}{3}ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2π}{\frac{4}{3}ω}=π$，解得$ω=\frac{3}{2}$，
即$f（x）=\frac{5}{2}cos（3x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，…（9分）
由$x∈[0，\frac{π}{3}]$得，$\frac{π}{3}≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{4}{3}π$，∴$-1≤cos（3x+\frac{π}{3}）≤\frac{1}{2}$，
即$-3≤f（x）≤\frac{3}{4}$，∴f（x）的值域為$[-3，\frac{3}{4}]$．…（12分）

點評 本題考查正弦定理，兩角和的正弦公式、二倍角的余弦公式變形，以及余弦函數(shù)的性質，屬于中檔題．