Question

9．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），且離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上任意一點(diǎn)P作橢圓C₁的兩條切線PM和PN，切點(diǎn)分別為M、N．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓恒與直線MN相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓過(guò)點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），且離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．可得a=$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可得出橢圓的方程．
（II）設(shè)點(diǎn)P（m，n），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．可得切線PM的方程為：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y$=1，由點(diǎn)P也切線PM上，可得$\frac{{x}_{1}m}{2}$+y₁n=1，同理可得：$\frac{{x}_{2}m}{2}$+y₂n=1．可得直線MN的方程為：$\frac{mx}{2}$+ny=1．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)到直線MN的距離d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}}}$，及其點(diǎn)P在橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，可得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）∵橢圓過(guò)點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，0），且離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴a=$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又b²=a²-c²，
聯(lián)立解得$a=\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）設(shè)點(diǎn)P（m，n），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴切線PM的方程為：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y$=1，∵點(diǎn)P也切線PM上，∴$\frac{{x}_{1}m}{2}$+y₁n=1，
同理可得：$\frac{{x}_{2}m}{2}$+y₂n=1．
∴點(diǎn)M，N均在直線$\frac{mx}{2}$+ny=1上，即直線MN的方程為：$\frac{mx}{2}$+ny=1．
∴原點(diǎn)到直線MN的距離d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}}}$，
∵點(diǎn)P在橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}$=2，∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴存在圓心在原點(diǎn)的定圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{2}$恒與直線MN相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的方程，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．