Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l：y=bx+2的距離為$\sqrt{2}$，
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0）？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直線l：y=bx+2，橢圓的離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{2}$，建立方程，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及CD為圓心的圓過點(diǎn)E，利用數(shù)量積為0，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）直線l：y=bx+2，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{2}$．
∴$\frac{2}{\sqrt{^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$
∴b=1
∵橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²，
∴a²=3
∴所求橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{EC}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{ED}$=（x₂+1，y₂），且以CD為圓心的圓過點(diǎn)E，
∴EC⊥ED
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$+（2k+1）×（-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$）+5=0
解得k=$\frac{7}{6}$＞1，
∴當(dāng)k=$\frac{7}{6}$時(shí)，以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．