Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow$=（cos（2x+$\frac{π}{3}$），sinx），函數(shù)f（x）=$\vec a$•$\vec b$-$\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的運(yùn)算，建立關(guān)系，利用二倍角公式、兩角和公式和輔助角公式將函數(shù)化簡．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，求出內(nèi)層整體的范圍，求f（x）的最值，即可得到值域．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=$\vec a$•$\vec b$-$\frac{1}{2}$cos2x．
則有：f（x）=1×cos（2x$+\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x．
化簡：f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$cos2x．
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），最小正周期T=π
（2）由（1）可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，即$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$；
∴$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
∴$-1≤f（x）≤-\frac{1}{2}$
∴函數(shù)f（x）的值域是[-1，$-\frac{1}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查了向量的基本運(yùn)算，三角函數(shù)的化簡能力和計算能力，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．