Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）＞m（m＞0）的解集為x∈（-∞，1）∪（7，+∞），求實(shí)數(shù)a，m的值；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出不等式的解集，再根據(jù)f（x）＞m（m＞0）的解集為x∈（-∞，1）∪（7，+∞），即可求出a，m的值，
（2）f（x）+t≥f（x+2）恒成立，得到f（x）_min+t≥f（x+2）_max，分別根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x-a，x≥a}\\{-x+a，x＜a}\end{array}\right.$
當(dāng)x≥a時(shí)，x-a＞m，即x＞a+m，
當(dāng)x＜a時(shí)，-x+a＞m，即x＜a-m，
∵f（x）＞m（m＞0）的解集為x∈（-∞，1）∪（7，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+m=7}\\{a-m=1}\end{array}\right.$，
解得a=4，m=3，
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥-1}\\{-x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤-2時(shí)，f（x）=-x-1，函數(shù)為減函數(shù)，故f（x）_min=f（-2）=2-1=1，
當(dāng)x≤-2時(shí)，則（x+2）≤0，
∴f（x+2）=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，-3≤x≤-2}\\{-x-3，x＜-3}\end{array}\right.$，
由于當(dāng)-3≤x≤-2時(shí)，函數(shù)f（x+2）為增函數(shù)，故f（x+2）_max=f（-2）=1，
由于當(dāng)x＜3時(shí)，函數(shù)f（x+2）為減函數(shù)，故f（x+2）_max=f（-3）=0，
故函數(shù)f（x+2）_max=1，
∵不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，
∴1+t≥1，
解得t≥0，
故t的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法以及求能成立問題參數(shù)范圍；關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用．