Question

16．設(shè)a，b，c為三角形ABC三邊長(zhǎng)，a≠1，b＜c，若$\sqrt{3}$sinA+cosA=$\sqrt{2}$，且$\frac{1}{lo{g}_{c-b}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{c+b}a}$=2，則B角大小為（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 $\frac{1}{lo{g}_{c-b}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{c+b}a}$=2，化為$lo{g}_{a}（{c}^{2}-^{2}）$=2，可得c²=b²+a²，$C=\frac{π}{2}$．由$\sqrt{3}$sinA+cosA=$\sqrt{2}$，可得2$sin（A+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{2}$，A∈$（0，\frac{π}{2}）$，解得A．即可得出B．

解答 解：∵$\frac{1}{lo{g}_{c-b}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{c+b}a}$=2，
∴l(xiāng)og_a（c-b）+log_a（c+b）=$lo{g}_{a}（{c}^{2}-^{2}）$=2，
∴c²-b²=a²，即c²=b²+a²，
∴$C=\frac{π}{2}$．
∵$\sqrt{3}$sinA+cosA=$\sqrt{2}$，
∴2$sin（A+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{2}$，A∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，解得A=$\frac{π}{12}$．
則B=$\frac{π}{2}-\frac{π}{12}$=$\frac{5π}{12}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、勾股定理的逆定理、和差公式、直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．