【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，、分別為的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)與的斜率之積為，為橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)、分別與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn).試問(wèn)：以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)和，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用直線(xiàn)與的斜率之積為，得出，再由點(diǎn)在橢圓上，可求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由對(duì)稱(chēng)性知，以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，求出、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，由，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）點(diǎn)在橢圓上，則，①，

易知點(diǎn)、，

直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，

由題意可得，解得，代入①式得，

因此，橢圓的方程為；

（2）易知，直線(xiàn)不能與軸重合.

由對(duì)稱(chēng)性知，以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，

如下圖所示：

易知點(diǎn)，，即，，

得，同理可得.

將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得，，.

由韋達(dá)定理得，，

，

，，

，解得或.

因此，以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)和.

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為1的直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且（），當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

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