Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上為增函數(shù)，且x1，x2∈I，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．

（1）求證：f（x）是偶函數(shù)：

（2）若f（m）﹣f（2m+1）＜3m2+4m+1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）利用偶函數(shù)的定義直接證明；（2）通過對函數(shù)的自變量的取值的任意性，利用賦值法借助于奇偶性，單調(diào)性得到關(guān)于的不等式．

（1）因為，恒有，

所以令，得，所以.

令，得，所以.

令，得，

所以是偶函數(shù).

（2）設(shè)，則是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù).

，即，

即.

由是偶函數(shù)，得，

由在上為增函數(shù)，得|m|＜|2m+1|，即.

解得或.又，

所以實數(shù)的取值范圍是.