Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)于任意n∈N^*，總有S_n=2（a_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_k與a_k+1之間插入k個(gè)數(shù)，使這k+2個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，當(dāng)公差d滿足3＜d＜4時(shí)，求k的值并求這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和T．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2，利用遞推關(guān)系：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由題意可得等差數(shù)列：a_k，a_k+d，a_k+2d，…，a_k+kd，a_k+1，利用a_k+1=a_k+（k+1）d，及其3＜d＜4，可得3＜$\frac{{2}^{k}}{k+1}$＜4，解出k，d，再利用求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，化為a_n=2a_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）由題意可得等差數(shù)列：a_k，a_k+d，a_k+2d，…，a_k+kd，a_k+1，
∴a_k+1=a_k+（k+1）d，
∴2^k+1=2^k+（k+1）d，∴2^k=（k+1）d，
∴3＜$\frac{{2}^{k}}{k+1}$＜4，
解得k=4，d=$\frac{16}{5}$．
∴此等差數(shù)列為：2⁴，2⁴+$\frac{16}{5}$，2⁴+2×$\frac{16}{5}$，2⁴+3×$\frac{16}{5}$，2⁴+4×$\frac{16}{5}$，2⁵，
∴這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和T=$\frac{6×（{2}^{4}+{2}^{5}）}{2}$=144．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．