Question

7．已知a，b，c∈R+，則（$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$）≥9．

Answer 1

分析 由多項式的乘法展開重新組合為3+（$\frac{ac}{^{2}}$+$\frac{^{2}}{ac}$）+（$\frac{ab}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{ab}$）+（$\frac{bc}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$），三個括號同時用基本不等式可得．

解答 解：∵a，b，c∈R+，∴（$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$）
=1+$\frac{ac}{^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$+$\frac{^{2}}{ac}$+1+$\frac{ab}{{c}^{2}}$+$\frac{bc}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{ab}$+1
=3+（$\frac{ac}{^{2}}$+$\frac{^{2}}{ac}$）+（$\frac{ab}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{ab}$）+（$\frac{bc}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$）
≥3+2$\sqrt{\frac{ac}{^{2}}•\frac{^{2}}{ac}}$+2$\sqrt{\frac{ab}{{c}^{2}}•\frac{{c}^{2}}{ab}}$+2$\sqrt{\frac{bc}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{bc}}$=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{ac}{^{2}}$=$\frac{^{2}}{ac}$且$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$且$\frac{bc}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{bc}$即a=b=c時，
原式取到最小值9
故答案為：9

點評 本題考查基本不等式求最值，變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．