Question

16．向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，設(shè)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值是-$\frac{3}{2}$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得f（x）的解析式，再利用三角恒等變換化簡可得結(jié)果．
（2）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得實(shí)數(shù)λ的值．

解答 解：（1）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+2λ$\sqrt{{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^{2}{+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）}^{2}}$
=cos2x+2λ$\sqrt{2+2cos2x}$=cos2x+4λcosx=2cos²x+4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1．
（2）當(dāng)λ＜-1時(shí)，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）取得最小值為1-4λ=-$\frac{3}{2}$，λ=$\frac{2}{5}$（舍去）．
當(dāng)λ＞1時(shí)，則當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值為1+4λ=-$\frac{3}{2}$，λ=-$\frac{5}{8}$（舍去）．
當(dāng)-1≤λ≤1時(shí)，則當(dāng)cosx=λ時(shí)，f（x）取得最小值為-2λ²-1=-$\frac{3}{2}$，求得λ=±$\frac{1}{2}$，
綜上可得，實(shí)數(shù)λ=±$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．